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2016年12月13日火曜日

【数学】 無限小解析の世界(その8)

今回は、前回の内容を踏まえた問題集。

問1 次の関数の偏導関数および全微分を求めよ。
\[
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}
\]

2016年12月10日土曜日

【数学】 無限小解析の世界(その7)

今回より、微分を取り扱う。そのためには、無限小超実数の知識だけではなく、「~と比べて無限小」という論理を駆使する必要がある。二重に入り組んだ論理のため、無限小の取り扱いが謎めいたものと理解されていたように思う。

このサイトでは、微分の論理を最初から多変数関数をベースとして展開する。微分については一変数関数を理解してから多変数関数に進むのが普通のやり方だと思うが、むしろ多変数関数の微分が一般的な理論であり、一変数関数はその特殊例として取り扱ってみたい。

次のような多変数関数f:R^n → Rを想定する。yはスカラー量であり、xはn次元のベクトルである。

\[
y = f(\boldsymbol{x})
\]

増分Δyを導入する。

\[
\Delta y = f(\boldsymbol{x} + \Delta \boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x})
\]

2016年11月6日日曜日

【数学】 無限小解析の世界(その6)

今回は超実数の公理がバージョンアップする。

実数の完備性が、標準部分定理で置き換えられる。

超実数の公理(version 2)
  1. Rはアルキメデス順序体である。
  2. R*はRの真拡大順序体である。
  3. (標準部分の公理)任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。
  4. (関数の公理)任意のn変数実関数fに対し、fの自然延長と呼ばれるn変数超実関数f*が「対応する」。(特にR*の体演算はRの体演算の自然延長である。)
  5. (解の公理)二つの式系がちょうど同じ実解を持つ、ならば、それらはちょうど同じ超実解を持つ。

アルキメデス順序体とは・・・

2016年11月4日金曜日

【数学】 無限小解析の世界(その5)

今回は方程式とその解について解説する。また、その過程で超実数の公理を拡張する(これまでは実質的に超実数が実数の真拡大体であることしか注目してこなかった)。

今回追加されるのは、関数の公理と解の公理である。

超実数の公理(version 1)
  1. Rは完備順序体である。
  2. R*はRの真拡大順序体である。
  3. (関数の公理)任意のn変数実関数fに対し、fの自然延長と呼ばれるn変数超実関数f*が「対応する」。(特にR*の体演算はRの体演算の自然延長である。)
  4. (解の公理)二つの式系がちょうど同じ実解を持つ、ならば、それらはちょうど同じ超実解を持つ。

自然延長は今のところいい加減な定義のままにしておく。(特に・・・のところは単なる例示ではなくて、始点として理解されたし。)

【数学】 無限小解析の世界(その4)

今回は実数と超実数の関係。特に「標準部分」について。

問題1.monad(0)はgalaxy(0)の極大イデアルであることを示せ。つまり、galaxy(0)のイデアルIで、
\[
\mbox{monad}(0) \subset I \subset \mbox{galaxy}(0)
\]
なるIが存在しないことを示せ。